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Ángulo inscrito y ángulo central

admin — Sun, 11 Jul 2010 10:40:25 +0000

El ángulo inscrito a una circunferencia es el que tiene el vértice en un punto perteneciente a ella, E, siendo sus lados cuerdas de la misma, AE y EB. Vemos que el ángulo inscrito abarca el arco AB. Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales. En nuestro ejemplo son iguales los ángulos de vértices D, E, F, G. El ángulo inscrito vale la mitad del arco que abarca. El ángulo central es el que tiene el vértice en el centro de la circunferencia, C, siendo sus lados dos radios, CA y CB. Vemos que el ángulo central dibujado abarca el arco AB. El ángulo central mide lo mismo que el arco que abarca. Cuando un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia abarcan el mismo arco, el ángulo inscrito vale la mitad que el central.

Comprobamos esta propiedad dibujando el ángulo inscrito con vértice en G, de modo que la cuerda GB coincida con el diámetro de la circunferencia. Analizando los ángulos del triángulo isósceles GAC, vemos que se cumple la propiedad

Es importante notar que dos puntos A y B sobre una circunferencia determinan dos arcos y, por tanto, dos ángulos centrales, uno cóncavo y uno convexo, o los dos iguales, que sumarán 360º. Sus ángulos inscritos serán suplementarios, pues sumarán 180º.

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Ángulos en las circunferencias

admin — Sun, 11 Jul 2010 10:38:42 +0000

Dentro de una circunferencia encontramos distintos tipos de ángulos, por ejemplo:

= ángulo inscrito, con el vértice sobre la circunferencia y con lados que son cuerdas de la misma.

= ángulo semiinscrito, con el vértice en la circunferencia, un lado tangente en el vértice y otro que es una cuerda.

= ángulo central, con el vértice en el centro de la circunferencia y los lados coincidentes con radios.

= ángulo interior, con lados que son cuerdas de la circunferencia y el vértice situado en su interior.

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Ángulo formado por dos rectas

admin — Sun, 11 Jul 2010 10:32:43 +0000

Dos rectas r y t se cortan formando cuatro ángulos iguales dos a dos por opuestos al vértice y suplementarios dos a dos. Por norma cuando se pide el ángulo formado por dos rectas siempre se responde indicando el menor.

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Dibujo de ángulos Con transportador

admin — Sun, 11 Jul 2010 10:31:32 +0000

El transportador es un instrumento semicircular graduado que nos permite medir ángulos. En los problemas de geometría plana es fundamental construir los ángulos con regla y compás. Esto se considera parte del problema. En los problemas de geometría descriptiva se dibujan los ángulos con escuadra y cartabón o con transportador.

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Dibujo de ángulos Con regla y compás

admin — Sun, 11 Jul 2010 10:28:22 +0000

Ya hemos aprendido a dibujar ángulos rectos al tratar la perpendicularidad. Ahora vamos a ver como se divide un ángulo recto en tres partes iguales. Esto se llama trisección del ángulo recto. No hay construcción gráfica para hacer la trisección de ningún otro ángulo.

Una vez construido un ángulo recto, trazamos un arco de radio arbitrario y centro en su vértice que corta a los lados del ángulo en los puntos M y N. Dibujamos otro arco de igual radio con centro en N. El ángulo PAN mide 60º, pues los tres puntos definen un triángulo equilátero. Lo que indica que el ángulo MAP es su complementario y mide 30º. Si dibujamos un tercer arco con el mismo radio y centro en M, obtenemos el punto Q. Comprobamos que PAQ y QAN son ángulos de 30º. Así está hecha la trisección del ángulo recto. Vamos a aprovechar esta construcción para dibujar el ángulo de 45º. Si prolongamos los arcos AP y AQ vemos que se cortan en el punto B que pertenece a la bisectriz del ángulo de partida.

Vamos a dibujar directamente 60º y 30º, trazando un triángulo equilátero PAN y su bisectriz. También vemos cómo usar la trisección del ángulo recto para dibujar 60º, 30º, 75º y 15º.

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Dibujo de ángulos Con la escuadra y el cartabón

admin — Sun, 11 Jul 2010 10:26:47 +0000

Es muy fácil colocar adecuadamente la escuadra y el cartabón para dibujar ángulos que sean suma o resta de los que forman los instrumentos. En el ejemplo comprobamos cómo se pueden trazar los ángulos de 105º, 75º y 15º.

Para trasladar un ángulo dado con la escuadra y el cartabón, se dibujan paralelas a cada lado del ángulo de modo que pasen por el vértice A deseado. Para trazar paralelas a una dirección se coloca uno de los instrumentos con un lado coincidente con la recta dato y se utiliza el otro para apoyarlo. A continuación se desliza el primero hasta el lugar deseado.

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Ángulos de la escuadra y el cartabón

admin — Sun, 11 Jul 2010 10:24:37 +0000

La escuadra es un triángulo rectángulo isósceles. Sus ángulos interiores son uno de 90º y dos de 45º. El cartabón es un triángulo rectángulo escaleno. Sus ángulos miden 90º, 60º y 30º.

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Bisectriz de un ángulo

admin — Sat, 10 Jul 2010 09:27:59 +0000

Es la recta que divide un ángulo en dos partes iguales. La propiedad de cada uno de los puntos de una bisectriz es que equidista de los lados del ángulo. Para trazar una bisectriz se dibuja un arco de radio arbitrario con centro en el vértice. Este arco corta a los lados en los puntos M y N. La bisectriz b es la mediatriz de la cuerda MN.

Bisectriz de dos rectas que se cortan fuera del dibujo. Vamos a resolver este problema por dos métodos:

1. Dibujamos dos rectas r’ y s’ paralelas a las dadas, r y s, de modo que la distancia d entre los dos pares de paralelas sea la misma.

La bisectriz b buscada es la bisectriz de r’ y s’.

Dibujamos un segmento arbitrario MN que tenga un extremo en cada una de las rectas dadas, r y s. Trazamos las bisectrices de los ángulos en M y N. Estas bisectrices se cortan en puntos de la bisectriz b buscada, porque, por ser intersección de las bisectrices, cada uno de ellos es equidistante de las tres rectas.

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Suma y resta de ángulos

admin — Sat, 10 Jul 2010 09:26:59 +0000

Para sumar dos ángulos dados basta con dibujarlos consecutivos, con un lado común. Para restarlos se dibuja el menor superpuesto al mayor, también con un lado común.

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Traslado de un ángulo

admin — Sat, 10 Jul 2010 09:26:12 +0000

Si queremos dibujar un ángulo igual a uno dado con vértice en un punto dado A, dibujamos un arco de radio arbitrario con centro en el vértice del ángulo dado y otro arco igual con centro en A. Medimos con el compás el arco limitado por los lados del ángulo dado y llevamos tal medida con el compás sobre el arco de centro en A.

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